Technische Universität München Zentrum Mathematik Radii of Convex Bodies

In der Folge dieser Resultate wurden die vier grundlegenden Radien (Dicke, Durchmesser, In-und Umkugelradius) in einer Vielzahl von Arbeiten behandelt. In den Literaturverzeichnissen findet man u.a. Artikel zu speziellen geometrischen oder Verallgemeinerungen von Jung und Steinhagens Theoremen für allgemeine Minkowski-Räume [9, 57, 26]. Wie bereits erwähnt, sind die Extremalkörper bei der Analyse der Ungleichungen von großer Bedeutung. Allgemeine Veröffent-lichungenüber Extremalkörper sind z. 65, 8]. Diese Literaturangaben streben keine Vollständigkeit an, sondern sind mit Bezug zu den nachfolgend behandelten Themen ausgewählt. Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der vier grundlegenden Radien für d-dimensionale Räume (einen¨Uberblick gibt [49]). Wir wählen jedoch diejeni-ge die den engsten Bezug zu den inneren undäußeren Quermaßen aufweist, es 1. EINF¨UHRUNG IN DEN WISSENSCHAFTLICHEN KONTEXT v uns also ermöglicht, einige analoge Betrachtungen zu den bekannten Fragen im Bereich der Volumina durchzuführen. Wir definieren daher den inneren j-Radius r j (C), 1 ≤ j ≤ d eines d-di-mensionalen Körpers C als den Radius einer größten in C enthaltenen j-Kugel (das vorangestellte j wird hier und im folgenden als Kurzform für j-dimensional verwendet). Der innere 2-Radius eines Körpers C gibt zum Beispiel den Radius einer größten in C enthaltenen Kreisscheibe an (siehe Abbildung 2). Abbildung 2. Der innere 2-Radius eines Oktaeders. Der zu-gehörige Optimalitätsbeweis kann in Kapitel 2.3 nachgelesen wer-den. Für j = d erhält man offensichtlich denüblichen Inkugelradius und für j = 1 den halben Durchmesser, da eine eindimensionale Kugel einem Liniensegment entspricht. Deräußere j-Radius R j (C), 1 ≤ j ≤ d eines Körpers C misst, wie gut C durch eine (d − j)-Ebene approximiert werden kann (siehe Abbildung 3). Ist j = d und wird daher C durch einen Punkt approximiert, so erhält man natürlich den vertrauten Umkugelradius. Ferner ist es nicht schwer zu erkennen, dass sich für j = 1 die halbe Dicke ergibt. Im Euklidischen Raum können dië außeren Radien auch als Umradien mini-maler (Orthogonal-) Projektionen verstanden werden, d.h. für einen Körper C vi DEUTSCHSPRACHIGE¨UBERSICHT¨UBER DIE DISSERTATION Abbildung 3. Deräußere 2-Radius eines Tetraeders. Die Achse des abgebildeten Zylinders stellt dabei die 1-Ebene da, durch die das Tetraeder approximiert wird. gibt R j (C) gerade den minimalen Umkugelradius aller Projektionen von C in j-dimensionale Unterräume an. Wie die korrespondierenden inneren undäußeren Quermaße verhalten sich auch die inneren undäußeren Radien dual zueinander, d.h. bezeichnet man mit C • den polaren Körper von C, dann gilt r j (C)R j (C •) = 1 für alle zentralsymme-erste Resultat gibt eine …